Jenkruh jemnožina všech bodů v dvojrozměrném rovině ve stejné vzdálenosti od centrálního bodu akoule jemnožina všech bodů ve třech dimenzích ve stejné vzdálenosti od centrálního bodu , v matematice existují obdobné struktury , tzv. hyperspheres , ve vícerozměrných prostorech větší než tři , které jsoumnožina všech bodů ve stejné vzdálenosti od centrálního bodu . V důsledku toho , stejně jako k celkovému objemu koule ve třech rozměrech mohou být odvozeny s počtu , takže může integrální objemy těchto vícerozměrných údajů . Pokyny dovolená 1
Definujte souřadnicový systém , který bude použit v problému . Ačkoli každá souřadnicový systém lze pracovat ,variace na sférických polárních souřadnicích funguje nejlépe . Jako příklad , v n-rozměrného prostoru , definovat r jako vzdálenost do středu , theta jako azimutální úhel a phi1 , phi2 , … phi ( n – 2 ) jako úhlových souřadnic v rozmezí od 0 do pi radiánech.
2
Uvede se základní objem nedílnou po celé hypersphere . To budenedílnou od 0 do nějakého poloměru R pro r , a přes celý rozsah možných úhlů pro každou úhlovou souřadnici , 0 až 2Pi pro theta a 0 až pi zbývajících proměnných . Vícenásobné integrály jsou převzaty z 1 přes objemovém elementu .
3
Nahraďte element objemu s příslušnými podmínkami vypočtených z Jacobian determinant . Například , pro hypersphere ve čtyřech rozměrech , to bude : .
R ^ 3 sin ^ 2 ( phi1 ) sin ( phi2 ) dr dphi1 dphi2 dtheta
Další pomoc výpočetní Jacobian , viz příslušný odkaz prostředků .
4
Zapište konečnou odpověď po přijetí každé nedílnou v řadě . V našem příkladu čtyřrozměrného hyperspherekonečná odpověď je : .
( Pi ^ 2/2 ) * poloměr ^ 4